Место рождения, образование. Родился в Тбилиси.В 1992 году окончил Тбилисский государственный университет, исторический факультет. В 1993 году – Школу государственной службы имени Роберта Вагнера Нью-Йоркского университета (магистерская степень).

Говорит на английском, русском и грузинском языках.

Карьера. В 1993 году работал в Медицинском центре Атланты.

В 1993 году назначен офицером администрации и финансов в грузинское представительство программы развития ООН.

В 1995-1997 гг. – заместитель начальника грузинской миссии Комитета помощи объединенной методистской церкви и исполняющий обязанности руководителя миссии.

В 1997 г. – президент грузинской неправительственной организации “Международный фонд “Курацио”.

В 1995-2002 гг. работал консультантом в различных международных организациях в Азербайджане, Литве, Украине, Армении и Сербии. В эти же годы издает несколько аналитических работ, касающихся реформы сферы здравоохранения и анализа системы социальной защиты.

В 2002-2003 гг. работает в Нью-Йорке, в Институте Запада и Востока, и консультантом Института трансатлантического партнерства против СПИДа.

2004-2005 гг. управлял администрацией Института Запада и Востока “EastWest Institute”.

С 31 января 2008 г. по 31 января 2010 г. – министр труда, здоровья и социальной защиты Грузии в правительстве Гилаури.

С августа 2010 г. по июнь 2013 г. – ректор Тбилисского государственного университета им. Иване Джавахишвили.

В сентябре 2013 года возглавлял избирательный штаб кандидата в президенты от пропрезидентской партии “Единое национальное движение” Давида Бакрадзе.

2 декабря 2014 года президент Украины Петр Порошенко подписал указ о предоставлении украинского гражданства Александру Квиташвили, Наталье Яресько, а также Айварасу Абромавичусу, которые также вошли в правительство. В этот же день назначен на должность министра здравоохранения Украины в новом правительстве Арсения Яценюка.

16 февраля 2016 года депутаты признали неудовлетворительной работу правительства в 2015 году, однако для отставки Кабмина во главе с Яценюком голосов не хватило.

10 апреля 2016 года Яценюк заявил о решении сложить полномочия премьер-министра, и 14 апреля Верховная Рада проголосовала за его отставку, отменив при этом постановление от 16 февраля. В тот же день был назначен новый состав Кабмина во главе с Владимиром Гройсманом.

Взгляды. Является сторонником системы страховой медицины. “Надо человеку объяснить, что если он купит пакет страховки на 15 или 20 лари, то он, в случае надобности, бесплатно получит операцию на 15 000 лари. Для этого можно даже применять агрессивную кампанию. Осталось победить постсоветский менталитет, потому что люди привыкли платить за электричество, за газ, заливают в машины дорогостоящий бензин, но, к сожалению, никак не привыкнут, что хорошее обслуживание в здравоохранительных учреждениях стоит дорого”, – заявлял Квиташвили в 2008 году.Беспартийный.

Семья. Супруга Александра, Николь, – внучка Ноя Жордании, председателя правительства Грузинской Демократической Республики.

Отец и мать Александра также связаны со здравоохранением, по состоянию на 2010 год они занимали должности, соответственно, директора Национального центра терапии и главного врача Центра неотложной кардиологии имени Чапидзе.